Thủ thuật giải toán bằng CASIO (4)

Cách 2: (Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)

Cũng từ: A=f(x)=x4−6x3+16x2−22x+16

Ta sẽ chứng minh f(x)>0 bằng cách đặt x=y−a4, để mất đi hệ số của y3

Đặt x=y+32

Biểu thức đã cho trở thành:

A=y4+5y22−y+6116=y4−my2+m2+(m+52)y2−y+6116−m2

(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)

Cần tìm m>−52 để PT (m+52)y2−y+6116−m2 vô nghiệm (khi đó nó mới >0)

Thì Δ=4m3+10m2−614m−2978<0

Tìm bất kì số m nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn m>52

Có nhiều m thỏa mãn lắm, VD: m=0 hoặc m=−1 hoặc m=1 là đẹp mắt nhất

Chọn một cái và làm !

Giả sử:

a) m=−1 thì A=(y2+1)2+32(y−13)2+17548
Suy ra A=(x2−3x+134)2+32(x−116)2+17548>0

b) m=0 thì A=y4+52(y−15)2+29780
Suy ra A=(x−32)4+52(x−1710)2+29780>0

c) m=1 thì A=(y2−1)2+72(y−17)2+419112
Suy ra A=(x2−3x+54)2+72(x−2314)2+419112

_______________________

Nhận xét: Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:


"Mình cũng chia sẻ chút chỗ này :
Khi đã ra A=y4+5y22−y+6116 thì trước khi chọn hệ số m thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai 5y22−y+6116 có vô nghiệm hay không:
+) Nếu vô nghiệm (Δ<0) thì ta phân tích thẳng luôn: A=y4+52(y−15)2+29780, tức là chọn m=0 để đỡ mất công cho phần sau
+) Nếu có nghiệm thì lại phải lục cục đi tìm m thôi "

________________________

Để không phải xét như thế, mình post một VD khác để có thể áp dụng hoàn toàn :

Ví Dụ 2: Giải phương trình 12x4−108x3+312x2+183x+119=0
___________

Nhận xét: Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi Casio để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì chắc là phương trình không có nghiệm

Hướng làm: (Cái này trong nháp)
Ta thấy 12x4−108x3+312x2+183x+119=0⇔x4−9x3+26x2+614x+11912=0
Đặt A=x4−9x3+26x2+614x+11912
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d=0 thì bạn đặt x=y−a4 rồi rút gọn lại

Vậy đặt x=y−−94
Suy ra

A=(y−−94)4−9(y−−94)3+26(y−−94)2+614(y−−94)+11912

=y4+9y3+2438y2+72916y+6561256−9y3−2434y2−218716y−656164+26y2+117y+10538+614y+212348

=y4−358y2+3298y+76007768

Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:

A=y4−358y2+3298y+76007768

=y4−2my2+m2+(2m−358)y2+3298y−m2+76007768

Để A>0 thì ta sẽ tìm m>3516 để phương trình (2m−358)y2+3298y−m2+76007768=0 vô nghiệm

Hay Δ=10824164−4(2m−358)(−m2+76007768)=8m3−352m2−7600796m+52580291536<0

(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập Δ vào máy tính Casio rồi ấn Calc.
Máy hỏi M? Ấn thử xem với M bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)

Có nhiều giá trị của m thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn lấy cái đẹp nhất nhưng mà thỏa mãn m>3516

VD: Ta lấy m bất kì chỉ cần thỏa mãn 5110≤m≤395 là BĐT kia đúng !!!

(Cách tìm m nhanh mà không phải mò !... Vào mode EQN, ấn cách hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt a,b,c rồi máy sẽ tính được 3 nghiệm, rồi lập bảng xét dấu là xong)

Cho m=6 hay m=7 thì ta được:

Nếu m=6 thì (2m−358)y2+3298y−m2+76007768=618y2+3298y+48359768=618(y+329122)2+35211546848
Do đó A=(y2−6)2+618(y+329122)2+35211546848=(x2−92x−1516)2+618(x+109244)2+35211546848>0

Nếu m=7 thì (2m−358)y2+3298y−m2+76007768=778y2+3298y+38375768=778(y+4722)2+510138448
Do đó A=(y2−7)2+778(y+4722)2+510138448=(x2−92x−3116)2+778(x−544)2+510138448>0

Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:

Lời giải 1: (cái làm làm luôn vào bài)
Ta có: 12x4−108x3+312x2+183x+119=0
⇔12(x2−92x−1516)2+1832(x+109244)2+3521153904=0
Vô lý do VT > 0 với mọi x

Lời giải 2:
Ta có: 12x4−108x3+312x2+183x+119=0
⇔12(x2−92x−3116)2+2312(x−544)2+51013704=0
Vô lý do VT > 0 với mọi x

__________________________________
Nhận xét: 2 lời giải trên thật ngắn gọn, nhưng lại phải có một "công trình" nghiên cứu như trên, nhưng còn với phương trình bậc 6, 8, ... thì lại phải làm một hướng khác !
Vì dụ ở dưới sẽ giúp bạn thành thạo hơn !!!

Thủ thuật 5: (Vật lý) Tổng hợp lực (Cái này mình thích lắm)

Nội dung: Áp dụng đặc điểm số phức
Cách làm:
Cho các vecto lực: F0−→,F1−→,F2−→,F3−→,...,Fn−→ biết góc tạo bởi F0−→ với các F1−→,F2−→,...Fn−→ là α1,α2,...,αn

Hợp lực của nó và góc tạo bởi vecto hợp lực với F0−→ được tính như sau:
Bước 1: Ấn Shift + MODE, ấn ▽, chọn CMPLX, chọn r∠θ
Bước 2: Vào Mode, chọn CMPLX
Bước 3: Ấn như sau: F0∠0+F1∠α1+F2∠α2+...+Fn∠αn
Ấn = là ta được kết quả !

Nhận xét: Mình nghĩ là thủ thuật 5 giúp rất nhiều trong những bài toán về lực, động lượng, điện tích, ...