Thủ thuật giải toán bằng CASIO (1)

(Bùi Thế Việt, 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

(Bùi Thế Việt, 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

Thủ thuật 1: Khai triển đa thức hệ số nguyên hoặc hệ số là phân số nhỏ
(Cái này áp dụng rất nhiều trong việc giải toán)

a) Hệ số nguyên
Nội dung: Ta nên nhớ một điều như sau:
Giả sử khi khai triển đa thức thì đa thức có dạng: anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
Tại x=10 thì đa thức có giá trị là anan−1...a1a0¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Tại x=100 thì đa thức có giá trị là an0an−10...0a10a0¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Tại x=1000 thì đa thức có giá trị là an00an−100...00a100a0¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
...
Chắc bạn sẽ khó hiểu về cái này ! Nhưng hãy ấn phím trên CASIO và làm theo các bước sau là bạn sẽ hiểu ngay:
Bước 1: Nhập đa thức :9X3+2X2+7X+1
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi X?
Bước 3: Nhập 10 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 9271. Ấn tiếp "=", máy hỏi X?
Bước 4: Nhập 100 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 9020701. Ấn tiếp "=", máy hỏi X?
Bước 5: Nhập 1000 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 9002007001
Vậy chắc bạn đã hiểu, nếu không hiểu Comment bên dưới

Nhưng nếu những hệ số là số nguyên âm thì sao ? Lại tìm hiểu tiếp nhé !

Bước 1: Nhập đa thức :9X3−2X2−7X+1
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi X?
Bước 3: Nhập 10 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 8731. Ấn tiếp "=", máy hỏi X?
Bước 4: Nhập 100 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 8979301. Ấn tiếp "=", máy hỏi X?
Bước 5: Nhập 1000 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 8997993001. Ấn tiếp "=", máy hỏi X?
Bước 6: Nhập 10000 và ấn nút =. Bạn sẽ thấy kết quả là 8999799930001

Nhận xét: Nếu số bạn nhập là 10x (tức là số 100...0¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ với x số 0), hãy chia kết quả thành các khoảng x chữ số từ phải sang trái. VD: 8997993001 thì là 8|997|993|001 hoặc 8999799930001thì là 8|9997|9993|0001
Gọi giá trị khoảng thứ t (t≤n) là kt thì ta có:
+ Nếu k có nhiều số 9 thì hệ số at=10x−kt
+ Nếu k có nhiều số 0 thì hệ số at=kt

P/s: Mình nói hơi khó hiểu và lòng vòng, tốt nhất là nên đọc luôn cách làm bên dưới:

Cách làm:
Cách 1: (Chỉ áp dụng cho các bài có hệ số ≤3).
VD cần khai triển 2(x+1)2(x−1)−7(x2+1)−8

Bước 1: Nhập đa thức ẩn X với các hệ số nguyên và không quá cồng kềnh.
(VD 2(X+1)2(X−1)−7(X2+1)−8)
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi X?, Ấn 1000 và ấn =
Bước 3: Máy hiện ra kết quả là một số có nhiều chữ số, tách ra từng 3 chữ số một từ phải sang trái
(VD: Máy hiện 1994997983 thì ta tách 1|994|997|983)
Bước 4: Ta lần lượt tìm hệ số a0,a1,... bằng cách sau:
Nhóm 3 chữ số thứ k (tính từ phải sang trái) có giá trị là Mk, chữ số hàng trăm của Mk là số 9 thì chứng tỏ hệ số của xk sẽ là Mk−1000 (số âm), và giá trị của nhóm thứ k+1 sẽ có giá trị là Mk+1+1 (tăng thêm 1)
Nhóm 3 chữ số thứ k (tính từ phải sang trái) có giá trị là Mk, chữ số hàng trăm của Mk là số 0 thì chứng tỏ hệ số của xk sẽ là Mk (số dương)
(VD: Nhóm 1: |983| thì hệ số a0 là −17 và thêm 1 vào nhóm 2
Nhóm 2: |997| thì hệ số a1 là −3+1=−2 và thêm 1 vào nhóm 3
Nhóm 3: |994| thì hệ số a2 là −6+1=−5 và thêm 1 vào nhóm 4
Nhóm 4: |001| thì hệ số a3 là 1+1=2)
Bước 5: Điền kết quả: 2(x+1)2(x−1)−7(x2+1)−8=2x3−5x2−2x−17
Bước 6: Thử lại cho chắc ăn !
(Ấn 2(x+1)2(x−1)−7(x2+1)−8−(2x3−5x2−2x−17), gán giá trị x=1,2,3,4,... mà thấy kết quả luôn =0 thì chắc là chính xác)

Nhận xét: Cách này không hay lắm, nếu làm quen thì chắc nhìn hệ số các nhóm là sẽ biết được ngày kết quả triển.

Cách 2: Áp dụng cho bậc cao, hệ số nguyên (Bậc cũng đừng cao quá, hì hì)
VD cần khai triển 2(x+1)3(x−1)2−7(x2+1)2−8
Bước 1: Gán giá trị x=1000 hoặc 10000 nếu thích.
(Tại x=1000 thì kết quả là 1,994995982x1015)
Bước 2: Nhìn vào giá trị sau dấu phảy, xem xét số bên cạnh nó ! Nếu số bên cạnh là 9 thì hệ số bậc cao nhất là hệ số sau dấu phảy công 1, nếu là số 0 thì dữ nguyên.
(Sau dấu phảy là số 1, cạnh nó là số 9, suy ra hệ số bậc cao nhất (bậc 5) là 2)
Bước 3: Viết lại đa thức, sau đó trừ đi bậc cao nhất vừa tìm.
(2(x+1)3(x−1)2−7(x2+1)2−8−2x5)
Bước 4: Cho x=1000 thì kết quả là bậc đa thức sẽ giảm, tiếp tục làm như bước 2
(Tại x=1000 thì giá trị nhân được là −5,004017998x1012. Do đó bậc hạ từ 15 xuống 12 nên đa thức có hệ số bậc 4 khác 0.
Sau dấu phảy là số −5, cạnh nó là số 0 nên hệ số bậc 4 là −5
Ấn tiếp 2(x+1)3(x−1)2−7(x2+1)2−8−2x5+5x4
Gán x=100 thì kết quả là −4179813, tách thành −4|17|98|13| ta được hệ số bậc 3 là −4, hệ số bậc 2 là −18, hệ số bậc nhất là 2, hệ số tự do là −13)
Bước 5: Ghi kết quả: 2(x+1)3(x−1)2−7(x2+1)2−8=2x5−5x4−4x3−18x2+2x−13
Bước 6: Thử lại

Nhận xét: Làm nhiều mới quen, chứ cái này khó nói lắm. Cũng hay chứ nhỉ ?