Thủ thuật giải toán bằng CASIO (3)

x4+3x3−4x2−11x+5=0
Ta ấn phím trên máy tính CASIO như sau:
Viết PT x4+3x3−4x2−11x+5=0 trên máy tính CASIO fx-570MS hoặc fx-570ES.
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi X?
Ấn 10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X=1,791287847

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO A
_______________________________________________________________
Viết lại phương trình : x4+3x3−4x2−11x+5=0

Ấn shift + SOLVE

Máy hỏi X?

Ấn -10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X= - 2,791287847

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO B
______________________________________________________

Viết lại phương trình : x4+3x3−4x2−11x+5=0

Ấn shift + SOLVE

Máy hỏi X?

Ấn -1 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X= 0,4142135624

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO C
________________________________________________________________
Nhận xét:
Ấn Alpha B + Alpha C =

Máy hiện : -2,377074285

Ấn Alpha C + Alpha A =

Máy hiện : 2,20550141

Ấn Alpha A + Alpha B =

Máy hiện : -1
_____________________________

Chứng tỏ trong các tổng A+B, B+C, C+A thì chỉ thấy A+B nguyên (hoặc là một số vô hạn tuần hoàn)

Ấp tiếp Alpha A x Alpha B =

Máy hiện : -5

Chứng tỏ A, B là nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x : x2−(A+B)x+AB=0

Mà A+B= -1, A.B= -5

Suy ra A, B là nghiệm của phương trình x2+x−5=0

Mà A, B cũng là nghiệm của phương trình: x4+3x3−4x2−11x+5=0

Suy ra x4+3x3−4x2−11x+5 khi phân tích nhân tử có một nhân tử là x2+x−5

Suy ra x4+3x3−4x2−11x+5=(x2+x−5)(ax2+bx+c)

Từ đó ta phân tích thành nhân tử được


Bài tập áp dụng:
x4+3x3−4x2−11x+5=0
x4+12x3+21x2−24x+5=0
x4−6x3−132x2+885x+500=0
10x4+27x3−16x2−45x+28=0
10x4+27x3+245x2+306x+1288=0
x4+9x3+20x2+9x+1=0


Thủ thuật 3: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (Tổng quát của thủ thuật 2)

Nhận xét: Đôi khi ta thấy những bài phương trình vô tỷ mà chỉ cần nhìn là thấy bình phương lên ra phương trình bậc cao cho nó lành ( = Bước đường cùng - Nguyễn Công Hoan) nhưng chính việc khai triển nó, phân tích thành nhân tử khiến chúng ta nản. Nhưng phương pháp sau đây sẽ giúp ích phần nào điều đó.

Nội dung: Trước tiên, cần xác định bậc của đa thức, để khi phân tích thành nhân tử ta sẽ kiểm tra xem có thiếu nhân tử nào không ! VD: (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−36x2−7x+2 có bậc là 6
Sau đó, xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình, giống như phương trình bậc 4

Cách làm:
Cách 1: Áp dụng cho những bài mà nhân tử của nó là đa thức bậc < 3
Bước 1: Nhập đa thức: (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−36x2−7x+2
Bước 2: Giải nghiệm phương trình, cho X là điểm giữa khoảng nghiệm
VD: 0.414213562,−2.414213562,1.618033988,−0.6180339880
Bước 3: Cố tìm xem các nghiệm ấy là nghiệm của phương trình bậc 2 hay bậc 3 nào ?
VD: x2−x−1=0 và x2+2x−1=0
Bước 4: Viết luôn ra vở rằng PT tương đương với (x2−x−1)(x2+2x−1)(...) với ... là một tam thức bậc 2 có dạng ax2+bx+c. Quan trọng bây giờ là tìm a,b,c
Bước 5: Vì hệ số bậc cao nhất phương trình bậc 6 là 1 nên a=1, hệ số tự do bằng 6 nên c=6
Bước 6: Viết ra máy tính như sau: (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−36x2−7x+2−(x2−x−1)(x2+2x−1)(x2+Ax+6),A
Bước 7: Ấn Shift + Solve để giải phương trình trên theo A. Đầu tiên cho X=1,2,3,... mà khi giải, ta luôn được A=4, do đó b=4
Bước 8: Viết tiếp (x2+4x+6)
Bước 9: Thử lại

Nhận xét: Cách này hơi hạn chế

Cách 2: (Một số bài toán khi bình phương để giải phương trình bậc cao, lại ra một tam thức bậc 2 nhân với một đa thức bậc 4 hoặc bậc 3, cách này vẫn gần giống cách 1 nhưng nó giúp chúng ta tìm được nhân tử phương trình còn lại. Cách này áp dụng thủ thuật 1.)

VD: Giải phương trình (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−26x2−17x−8=0

Bước 1: Tìm các nghiệm phương trình, thấy phương trình có đúng 2 nghiệm và từ đó ta có nhân tử
(x2−x−1) (Như cách 1)
Bước 2: Ta sẽ tìm nốt nhân tử bậc 4 còn lại, cách làm như sau:
Viết lên máy tính: (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−26x2−17x−8x2−x−1
Bước 3: Cho x=1000 thì ta được kết quả là 1,006013008x1012
Chứng tỏ hệ số bậc 4 là 1
Bước 4: Viết tiếp (x2+1)2(x2+5x+4)−21x3−26x2−17x−8x2−x−1−x4
Cho x=1000 ta được 6013008004 nên ta được phương trình bậc 4 là:
x4+6x3+13x2+8x+4
Bước 5: Viết : (x2−x−1)(x4+6x3+13x2+8x+4)=0
Bước 6: Chứng minh phương trình bậc 4 kia vô nghiệm (Xem thủ thuật 4)
Bước 7: Kết luận (Cái này nhiều người thiếu)

Nhận xét: Thủ thuật này làm mất đi trí óc, tư duy con người nên không khuyến cáo dùng cách này...

Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm: (Post lại bài mình đã post)

Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)
_________________________
Xét PT f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d với d>0 và a,b,c là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: x4−6x3+16x2−22x+16=0

Cách 1: Cách ăn may: đó chính là f(x) phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,
giống như f(x)=x4−6x3+16x2−22x+16

Khi đó f(x)=(x2−2x+3)(x2−4x+5)+1>0

[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?

Cách làm ở đây là đặt f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d)+e
Suy ra f(x)=x4+(a+c)x3+(d+ac+b)x2+(bc+ad)x+bd+e
Đồng nhất với đa thức ban đầu là f(x)=x4−6x3+16x2−22x+16
Ta có:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a+c=−4d+ac+b=16bc+ad=−22bd+e=16

Từ đó dễ dàng suy ra a=−2,b=3,c=−4,d=5,e=1 nhờ phương pháp mò (Vì đây là cách ăn may mà)